Известны очень многие доказательства теоремы с разными математическими методами, но одни из самых наглядных связаны с площадями.

 

1. Построим квадрат, сторона которого равна сумме катетов данного треугольника a+b.  Площадь квадрата равна (a+b)2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Если провести гипотенузы c, очевидно, что они образовали квадрат внутри построенного квадрата.

Стороны четырёхугольника равны c, а углы — прямые, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, то угол четырёхугольника также равен 90°, потому что вместе все три угла дают 180°.

Следовательно, площадь квадрата состоит из четырёх площадей равных прямоугольных треугольников и площади квадрата, образованного гипотенузами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. На двух сторонах квадрата поменяем местами отрезки a и b, при этом длина стороны квадрата не меняется.

Теперь площадь квадрата можем сложить из двух площадей квадратов, образованных катетами a и b и двух площадей прямоугольников:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Из этого следуют выводы:

 

4⋅ab2=2ab и c2=a2+b2, что и является одним из доказательств теоремы Пифагора.

Обрати внимание!

Если находим длину гипотенузы c, то выполняем сложение квадратов длин катетов a и b и определяем квадратный корень:

 

c2=a2+b2c=a2+b2−−−−−−√

  

Если находим длину одного катета, то выполняем вычитание длины квадрата другого катета из квадрата длины гипотенузы и определяем квадратный корень:

 

a2=c2−b2a=c2−b2−−−−−−√

Обратная теорема используется как признак прямоугольного треугольника.